Matemáticas

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matemáticasLas matemáticas son una ciencia de método (la ciencia de la medición, es decir, la ciencia de establecer relaciones cuantitativas), un método cognitivo que le permite al hombre realizar una serie ilimitada de integraciones. Las matemáticas indican el patrón de la función cognitiva de los conceptos, y la necesidad psico-epistemológica que éstos satisfacen.

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Al captar el concepto (implícito) de “unidad”, el hombre llega al nivel conceptual de cognición que consiste en dos campos interrelacionados: el conceptual  y el matemático. El proceso de formación de conceptos es, en gran parte, un proceso matemático.

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Una parte considerable de las matemáticas superiores, desde la geometría en adelante, se dedica a la tarea de descubrir métodos a través de los cuales formas diferentes pueden ser medidas, de métodos complejos que consisten en reducir cualquier problema a los términos de un método sencillo y primitivo, el único disponible al hombre en este campo: la medición lineal. (El cálculo integral, que se utiliza para medir el área de los círculos, es uno de esos ejemplos).

En este sentido, la formación de conceptos y las matemáticas aplicadas tienen una tarea similar, igual que la epistemología filosófica y las matemáticas teóricas tienen un objetivo similar: el objetivo y la tarea de traer – de poner – el universo al alcance del conocimiento del hombre, y lo hacen identificando relaciones con datos perceptuales.

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La inducción en física depende esencialmente de dos métodos especializados: la experimentación es el camino a la matemática, y la matemática es el lenguaje de la ciencia física.

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Los griegos aplicaron las matemáticas más extensamente a la astronomía que a ninguna otra ciencia. Como resultado, la astronomía se convirtió en la ciencia de la naturaleza más avanzada de la Antigüedad. En contraste, se hizo relativamente poco avance en física. La influencia del platonismo convenció a muchos pensadores griegos de que los cambios físicos y los movimientos de la materia terrestre no podían ser comprendidos por completo, y que por lo tanto no eran susceptibles de tratamiento matemático. Pero, al creer que los cuerpos celestes poseían un mayor grado de perfección, los griegos se sentían más seguros aplicando las matemáticas a ese campo.

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La matemática no es un conjunto aislado y “puro” de abstracciones y deducciones; y, si lo fuera, no sería más que un juego inútil. Es la ciencia que relaciona unas cantidades con otras, y esas cantidades en última instancia están relacionadas con objetos perceptibles.

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Fuentes:

“El papel cognitivo de los conceptos”, Introducción a la Epistemología Objetivista

“Cognición y Medición”, Introducción a la Epistemología Objetivista

“Formación de Conceptos”, Introducción a la Epistemología Objetivista

“El Salto Lógico”, por David Harriman y Leonard Peikoff

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Publicado por: Enero 27, 2016 12:38 am

5 Comentarios

5 Comentarios

  • Juan Manuel Muñoz says:

    La cuestión está en que las técnicas que se usan para resolver trefoil knots o escapar de laberintos, son técnicas que también se pueden aplicar en una versión numérica para resolver problemas genuinamente cuantitativos. Estas herramientas tienen en cuenta cierta “estructura” en los temas que abordan, y esa estructura (cualitativa) puede o no manifestarse cuantitativamente al final. Pero las herramientas explotan las propiedades de la estructura, independientemente de si llevan o no números por delante. Por eso pienso que:
    – ni ciertas ramas o aspectos de las matemáticas son necesariamente cuantitativos.
    – ni es posible hacer una distinción fundamental entre las matemáticas totalmente cuantitativas y estas técnicas cualitativas.

    Un ejemplo para ilustrar esto:
    Un grupo (que no es lo mismo que un conjunto), en matemáticas, es un tipo de “estructura algebraica”. Estas estructuras se caracterizan por tener, por un lado, un conjunto de cualesquiera entidades o abstracciones, y por otro, una serie de “operaciones” o “cambios” que se pueden hacer sobre esas entidades. Estas operaciones tienen que tener ciertas propiedades muy simples que no vienen al caso. La cuestión es que la teoría de grupos busca, a partir de dichas propiedades de las operaciones, establecer resultados acerca del tipo concreto de operaciones, y cómo unas se relacionan con las demás.

    Este estudio tan abstracto se aplica, casi de manera idéntica, a:

    – situaciones completamente cuantitativas, como cuestiones sobre aritmética de números enteros.
    – situaciones completamente cualitativas, como resolver el famoso cubo de Rubik.

    Quizá este álgebra abstracta, así como la teoría de conjuntos que da lugar a la topología (la rama bajo la que caen los trefoil knots), pertenezcan a una categoría diferente de conocimiento que aún no hemos identificado, pero que pueda considerarse como “un paso más allá de la matemática”. El hecho es que el proceso de pensamiento de un matemático cuando quiere estudiar la resolución del cubo de Rubik, y el de otro cuando quiere estudiar la estructura de los números enteros, es esencialmente el mismo.

  • Juan Manuel Muñoz says:

    Vale, intentaré ser breve y claro.

    Todo estudio de la matemática se relaciona, en última instancia, y por abstracto que sea, con la realidad y con los objetos que observamos y medimos.

    Ahora bien, propongo el siguiente ejemplo que muestra que no todo análisis matemático es necesariamente cuantitativo:

    La rama de la topología estudia ciertas propiedades de conjuntos (de cualesquiera cosas) que tienen que ver con ciertas maneras de conectar sus partes unas con otras. No está limitada a conjuntos de puntos que forman figuras geométricas, pero éstos son los mejores ejemplos.
    Consideremos un trozo de cuerda que hemos enredado, y cuyos extremos hemos fundido entre sí, de forma que ahora nuestra cuerda no tiene extremos, pero está enredada. Escribid “trefoil knot” en Google imágenes y tendréis un buen ejemplo de nudo matemático. Bien, la topología (en particular, la teoría de nudos) se encarga de estudiar, mediante estas posibles conexiones (que no hacen alusión ni a cuántas conexiones hay, ni a distancias o a medidas), *si es o no posible desenredar un nudo matemático sin romperlo*. Esta pregunta es profundamente cualitativa: “¿Puedo doblar y retorcer la cuerda hasta desenredarla?” O: “Dados dos nudos matemáticos, ¿cómo puedo saber si puedo retorcer y mover uno hasta que sea idéntico al otro?” Estas preguntas tienen respuesta, y la topología se encarga de buscarlas y proveerlas, y de explicar exactamente dónde está aquello que determina si un nudo puede o no ser desenredado o transformarse en otro. E insisto: este análisis no hace referencia a ningún tipo de distancia o longitud, sino a conexiones entre subconjuntos del conjunto total de puntos que conforma el nudo.
    Si uno escribe “two trefoil knots” y encuentra dos imágenes del mismo nudo, pero que parecen simétricas, verá, si juega con una cuerda en su casa, que es imposible, por muchas vueltas que uno le dé, convertir uno de ellos en el otro.
    ¿Está esto en relación con la realidad? Por supuesto; una versión algo más elaborada de esta teoría es la que me ha enseñado a atarme los cordones de mis zapatos más deprisa que empleando el método habitual, y produciendo el mismo nudo resultante. (Existen aplicaciones un poco más útiles también.)

    • Omingod says:

      Mi primera reacción es preguntar hasta qué punto resolver problemas de trefoil knots puede ser considerado matemáticas. Si lo fuesen, entonces también serían matemáticas cómo salir de un laberinto, o cómo resolver un puzzle, supongo, o mil otras actividades humanas, y sin embargo esas actividades no parecen caer bajo el rango de esa ciencia.

      Para decir que las matemáticas NO SON la ciencia de la medición habría que diferenciarla en su esencia de las actividades humanas más próximas a ella. Si resolver problemas como los de los nudos puede hacerse sin recurrir a números, entonces no estamos hablando de matemáticas, sino de resolución de problemas por otros medios; si se hace recurriendo a números (aunque sean ordinales), entonces estamos usando las matemáticas.

  • Juan Manuel Muñoz says:

    Muy buena recopilación de muy buenos comentarios de Ayn Rand sobre el tema. Sin embargo, y ya que se publica un artículo sobre matemáticas, me veo en la necesidad de decir abiertamente algo que llevo pensando desde hace tiempo.

    Me parece que la definición que da Rand como ‘ciencia de la medida’ no es la mejor que se podría dar. (Como siempre, hay que señalar que las definiciones son contextuales y Rand no tenía una formación en matemáticas avanzadas.) Mi matiz sería que las matemáticas, en general, buscan relaciones cualitativas tanto como cuantitativas. Hay ramas, como la “teoría de la medida”, que son esencialmente cuantitativas, pero hay otra, como la “topología”, en la que es prácticamente imposible encontrar un resultado que haga referencia a números y medidas. Por otra parte, la matemática no sólo persigue métodos, sino relaciones profundas que aportan *descubrimientos* por sí solas, sin necesidad de que un físico o un biólogo las conecte con la realidad: las propias matemáticas, en muchos aspectos, hablan directamente de los atributos de ciertas cosas.

    En cuanto a que contienen relaciones cualitativas, el ejemplo más claro que se me ocurre es el de la ciencia de la topología. En cuanto a que no siempre persiguen métodos sino también descubrimientos, propongo como ejemplo el llamado “efecto de mundo pequeño” (en inglés, small-world effect, no sé cuál es la traducción habitual en castellano).
    Puedo dar detalles si alguien los quiere, pero una explicación mínimamente comprensible excede con mucho el alcance de un comentario, y no me gusta contar verdades a medias.

    Finalmente, es necesario señalar que, si bien defiendo estas observaciones sobre la naturaleza de la matemática, reconozco que, en su parte más activa y potente, sí se dedica a la búsqueda de métodos y técnicas que permitan analizar cuantitativamente la realidad por parte de científicos especializados, con lo cual la definición de Rand es perfectamente válida dentro de su contexto de conocimiento, así como el de el público general. Mis comentarios deben entenderse como referidos a un nivel más avanzado de especialización en matemáticas.

    • Omingod says:

      Juanma, un ejemplo concreto sería necesario para aclarar tu posición, porque realmente es difícil imaginar alguna parte de las matemáticas en la que la medición no esté presente, o en la que no exista una relación en última instancia con la realidad y los objetos que observamos y medimos.

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