La unidad imaginaria contra el escepticismo científico

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unidad imaginariaUna de las causas fundamentales de que las matemáticas reciban tanto rechazo por parte de los estudiantes es que son presentadas de una forma que parecen totalmente desconectadas del mundo real. Algunos conceptos matemáticos, como el de “unidad imaginaria” o el de “infinito”, son especialmente sensibles a este enfoque. Por ello, no es sorpresa que encontremos a alumnos que ven sus premisas racionales colisionar con el estado mental que sus profesores de matemáticas les han inducido al transmitir toda clase de majaderías filosóficas que pasan inadvertidas. En estos tiempos dominados por el escepticismo en la ciencia, es de esperar que se utilicen conceptos matemáticos complicados como supuestos ejemplos de la incapacidad del ser humano para comprender el mundo. El número i, la famosa unidad imaginaria, no sólo es un concepto matemático válido, sino el número más importante de todos.

En este texto me propongo presentar un contexto de conocimiento desde el cual evaluar correctamente el concepto de “número complejo” y relacionarlo con el mundo real. En primer lugar identificaré los conceptos de números desde los menos a los más sofisticados (que engloban a los anteriores), hasta llegar a los números complejos. Luego induciré qué es y qué no es un número. Finalmente, señalaré el motivo por el que la gente ve los números imaginarios como algo alejado de la realidad.

Para empezar, voy a ir expandiendo el conjunto de los números según el curso natural en el desarrollo del conocimiento humano, que coincide con el desarrollo cronológico (lo cual no debe ser ninguna sorpresa). Les pondré nombre, detallaré la expansión del concepto de “número” asociada a cada nuevo conjunto (que siempre contiene al anterior), y mostraré qué nuevas relaciones matemáticas pueden desarrollarse con ellos (gracias a la expansión del concepto que ha tenido lugar).

Empezamos con los números naturales: 1, 2, 3… Los números naturales se utilizan para identificar cantidades sobre entidades visibles que son enteras y discretas. También se utilizan para poner cosas en orden (el n-ésimo elemento de una fila de personas es la persona que, junto a las anteriores, suma n elementos).

Después tenemos los números enteros (incluyendo el cero): 0, ±1, ±2,… Los números enteros incluyen el concepto (más abstracto) de “deuda”: tener -5 euros significa que en cuanto ganes 20 tendrás que darle 5 a alguien, de manera que sólo habrás ganado 15. Denota una cantidad, sólo que funcionando de una manera un tanto diferente. Si se prefiere (y en ocasiones se prefiere), puede considerarse que los signos negativos introducen direccionalidad: antes, podías sumar tranquilamente números naturales, pero no restarlos (podía ocurrir que una resta no diese como resultado un número natural, en una situación tan simple como que haya que sustraer una cantidad y se encuentre que la cantidad disponible sea menor que la cantidad a sustraer). Sin embargo, ahora uno puede moverse en cualquier dirección en el conjunto de números, gracias al signo negativo. Además, hay que darse cuenta de que esta discusión no tiene sentido sin un número que represente una cantidad sin elementos y sin deudas: el balance exacto entre lo que se gana y lo que se pierde, pensando en términos de un comerciante árabe en la Edad Media. Ese número no es otro que el 0. (Si un número no tuviera aspecto relacional, un concepto que sirviese exclusivamente para representar la cantidad de la “nada” sería un concepto inválido. Pero dejemos esto para el final.)

Luego aparecen números que deben representarse utilizando dos cantidades, lo cual ya es novedoso: son los números racionales. Los números racionales (o fraccionarios) representan la idea de proporción o fracción de una unidad. Relacionan, por ejemplo, una parte con un todo; y por eso son necesarios dos valores (un numerador y un denominador; una parte referida a un todo). Incorporando las ideas anteriores, estos números racionales incluyen algunos que tienen signo negativo.

Ahora vienen los números reales, que incluyen, además de los números racionales, cantidades que no pueden expresar una proporción entre cantidades enteras (a estos se les llama “números irracionales”). Es un cambio de perspectiva bastante difícil de asimilar (los pitagóricos lo pasaron muy mal, porque esto desafiaba sus dogmas infundados). Los números reales incorporan la idea de “continuidad”, y dan fundamento completo al concepto de “longitud” en un contexto continuo. El motivo de que estos números existan es que hay longitudes que pueden ser construidas, y para las que existen otras longitudes que no se pueden poner en proporción (fraccionaria) entera con éstas. Un ejemplo clásico es la longitud de una circunferencia: no puede ponerse en proporción exacta fraccionaria con el diámetro de la misma, aunque tal diámetro sea de longitud entera. Otro ejemplo es la diagonal de un cuadrado, en proporción a uno de los lados de ese cuadrado. El asunto es que, cuando uno utiliza los números para medir distancias en la geometría de un continuo de puntos (lo cual es un contexto relacional), encuentra situaciones (muy simples, incluso) en las que las proporciones enteras no bastan.

numeros complejosY finalmente llegan los números complejos, que acoplan a las longitudes una orientación espacial. La geometría no existe en una sola dimensión: uno no puede hacer cuadrados, esferas o cilindros en una recta; uno necesita más de una dimensión para hacer geometría. Pero más de una dimensión implica la aparición de orientaciones por el espacio. El caso más simple que presenta direcciones es el plano (bidimensional). Así, si los números desean usarse para hacer geometría (y ya se intuía en la época en que aparecieron los números complejos que la geometría y el álgebra numérica están íntimamente relacionadas), uno tiene necesariamente que añadir la idea de direcciones en su concepto de número para representar longitudes. “Esto mide 4” no siempre es suficiente: a veces es imprescindible indicar “esto mide 4 hacia esa dirección”.

La unidad imaginaria no debe verse como la raíz cuadrada de menos uno; esa es una forma secundaria, posterior e indirecta de verla. La unidad imaginaria debe verse como “esto mide la unidad, en dirección perpendicular (y en sentido anti-horario) a la dirección de referencia” (hacia la derecha desde el origen de coordenadas). Los números complejos son, así, puntos en un plano (mientras que hasta ahora todos los números podían ser representados sobre una recta). La recta horizontal de referencia son los números reales (que, como debe ser, forman parte del nuevo conjunto de números, que es más amplio); los números que están en el eje vertical (los que llevan una dirección de 90º hacia arriba o hacia abajo, incluyendo la unidad i) son los números imaginarios (y, por supuesto, también son un subconjunto de los números complejos).

Sin embargo, si quieres entender qué es la raíz cuadrada de un número negativo, también puedes hacerlo de una forma muy simple: la raíz cuadrada de X, digamos, en los números reales, es la longitud del lado de un cuadrado cuya área es X. Observa que la idea de raíz cuadrada viene impregnada de un significado geométrico. Si sólo piensas que la raíz de X es un número que elevado al cuadrado me da X, estás perdiéndote la parte geométrica, que es la más importante (por razones de matemáticas avanzadas que no puedo explicar aquí; aunque puede verse que en toda la discusión de los números las ideas geométricas han estado presentes en mayor o menor medida). Así, cuando uno se extiende a los números complejos, debe tener presente que ese viaje lo ha emprendido por razones geométricas (que, repito, se extienden a casi todas las matemáticas); lo razonable sería, entonces, revisar si el concepto de raíz cuadrada se extiende de alguna manera cuando se extiende el conjunto de números por razones geométricas (ya que la raíz cuadrada está cargada de significado geométrico en el anterior conjunto de números, los reales).

Y resulta que sí es así, y lo es por la forma en que se multiplican los números complejos: las longitudes se multiplican de la forma habitual (multiplicar consiste en extender una cantidad a lo largo de otra: piensa en el área de un rectángulo); los valores absolutos de las longitudes se multiplican según esa idea), mientras que las direcciones se acoplan (o sea, se suman ángulos). Esto hace que multiplicar un número complejo por sí mismo (elevarlo al cuadrado) incluya hacer doble el ángulo de la dirección que poseía. Y, por lo tanto, una raíz cuadrada incluye dividir entre dos el ángulo de la dirección original, y la longitud se convierte en su raíz cuadrada en el sentido de los números reales.

numero iDe esa manera, la cantidad -1 (que es la unidad en dirección de 180º respecto de la dirección de referencia) pasa a tener 1 en longitud (pues la raíz cuadrada de la longitud 1, en el sentido de números reales, es igual a 1), y el ángulo se divide entre dos, pasando a ser 90º… Es decir, que la raíz cuadrada de la unidad con ángulo 180º, pasa a ser la unidad con ángulo 90º, que es la unidad en la dirección perpendicular a la dirección de referencia, o sea, la famosa “i”. No entraré en detalles sobre por qué el ángulo de 90º es especialmente importante, pero cualquiera que haya hecho geometría elemental puede tener una idea implícita, que para esta discusión es más que suficiente.

Y resulta que, al final, uno se da cuenta de que todo el beneficio que aporta incluir direcciones para hacer geometría puede reducirse a la idea de acoplar ángulos entre sí, lo cual lleva consigo esa extensión de la idea de raíz cuadrada.

El concepto de número nos permite poner la medida específica de un atributo en un contexto conceptual que permite compararlo con otra medida específica del mismo atributo en una entidad diferente. Ahora bien, no sólo ocurre que un número puede representar diferentes unidades; también puede funcionar de maneras diferentes, en ámbitos (matemáticos) diferentes. Un número no es una mera cantidad; es más que eso, e ignorar lo demás supone ignorar una parte de la realidad. Es fácil ver este punto: si los números sólo denotasen cantidades (independientemente de las relaciones entre cantidades), entonces no servirían para nada. Y si fuesen independientes de las entidades (las ideas) cuantificadas, entonces no tendrían relación con la realidad. Ambos aspectos – relaciones y atributos – son necesarios para no caer en contradicciones metafísicas: cantidades sin relaciones son existentes sin atributos; cantidades sin referentes son atributos sin existentes. Por lo tanto, un número es un “índice para cuantificar atributos y relacionarlos según sus propiedades“.

Llegados a este punto, no creo que nadie pueda seguir mitificando la unidad imaginaria. Pero es interesante preguntarse por qué levanta tanto escepticismo-misticismo. Lo primero que debemos señalar es que los números irracionales (los números reales que no pueden expresarse como una fracción de números enteros, como, por ejemplo, el número π) tienen propiedades difíciles de captar y, a mi juicio, deberían suponer un desafío intelectual más grande que el de los números complejos. Los números complejos simplemente introducen geometría y ángulos, algo con lo que todos estamos familiarizados. Pero π representa una longitud que no puede medirse con exactitud (no puede relacionarse de manera exacta con la unidad elegida). Tiene una cantidad infinita y no-periódica de cifras decimales. Y sin embargo representa una cantidad tangible, como el perímetro de un círculo. El concepto de “continuo” es muy desafiante en matemáticas, y presenta muchas sorpresas complicadas. Sin embargo, la gente no se para a pensar en los misterios de π, y en cambio se queda anonadada al introducir ángulos en geometría. ¿Por qué esta ironía?

El motivo es que se empieza por decir que i es la raíz cuadrada de -1, sin mayor explicación, y se deja el nuevo concepto de raíz cuadrada como una abstracción flotante que ha perdido el significado que uno creía que tenía. Además, se empieza con una representación de los números complejos en la cual lo primario son unas coordenadas cartesianas (eje real y eje imaginario), y después se pasa a ver, marginalmente, la idea de longitud-ángulo. Este es un enfoque más aritmético (o algebraico); los docentes no identifican que lo primario de los números complejos es la direccionalidad.

Y para finalizar, enumeraré sin ningún orden especial varias situaciones (aplicadas o teóricas) en las que los números complejos son necesarios: la propagación de ondas, la trigonometría abstracta, la resolución de ecuaciones polinómicas, la corriente alterna y la resistencia eléctrica generalizada, la respuesta óptica de los materiales a la propagación de luz en su interior, el estudio de los sistemas caóticos y los fractales, resultados importantes sobre los números primos que afectan a la seguridad de la encriptación de información vía Internet, situaciones de mecánica newtoniana que exhiben ciertos tipos de simetría, la resolución de ecuaciones diferenciales (que aparecen en todas las ingenierías), varias series que aparecen en estadística y termodinámica a nivel microscópico, situaciones que se repiten periódicamente en el tiempo (se representan como un punto que da vueltas en el plano complejo), etc. De modo que, esa extensión “direccional” y “geométrica”, de una forma indirecta y sutil, viene exigida por problemas de todo tipo, en todas las ciencias, tanto en sus aspectos más teóricos como en las aplicaciones más prácticas y directas.

El objetivo de este texto es rescatar a un número tan importante, digno y válido como el número i, de las garras de los escépticos y místicos que inundan el panorama científico actual.

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Texto e imágenes de Juan Manuel Muñoz, colaborador de Objetivismo Internacional.

Juan Manuel es co-traductor del libro próximamente disponible: El salto lógico – La inducción en física, de David Harriman, y está encantado de responder a preguntas relacionadas con la física, las matemáticas y la inducción, todo desde una perspectiva Objetivista.

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Publicado por: mayo 27, 2015 12:54 pm

6 Comentarios

6 Comentarios

6 respuesta a “La unidad imaginaria contra el escepticismo científico”

  • Alberto Iron says:

    A Juanma Muñoz lo encuentras en facebook

  • César González says:

    @Truchuelo. No de vez en cuando, siempre se disfruta.

    La razón por la que a veces la gente toma el atajo de la explicación más sencilla aunque no del todo cierta es simple: no les gusta pensar,¿por qué motivo? no lo sé, pero prefieren creer ciegamente lo que dicen sus profesores sin comprobar esas ideas. Tal y como se explica lo que ocurre con el número Pi, así mismo es el enfoque que se le da a los conceptos matemáticos en general.

  • G Truchuelo R says:

    Da gusto leer de vez en cuando a gente con las ideas claras, no sólo en el ámbito del derecho y la economía, sino también en el ámbito de las ciencias. Muy clarificador

  • Alberto says:

    El universo no es ni puede ser infinito, ya que ésto representa una cantidad demasiado grande como para tener identidad, y el universo es todo lo que existe, por lo que su identidad es implícita es su definición.

    Sin embargo, el decir “tuvo que tener un origen, y ese es justo el dios en el que yo creo y que tiene características imposibles” no es un argumento válido, ya que se antepone consciencia a existencia (otra contradicción).

    No sé si me he explicado bien, pero en el apartado “Dios” está bien explicado, y en sus comentarios se está teniendo ahora mismo la “discusión” infinito vs eterno.

  • Alejandro Durán says:

    ¿Cómo se puede poner uno en contacto con el señor Juan Manuel?

  • Jeison says:

    Me pregunto mucho sobre el “infinito”. ¿El infinito es un concepto que tiene referencia en la realidad? Me parece que el infinito conduce a paradojas y absurdos matemáticos como la del Hotel de Hilbert, por ejemplo. Parece contradictorio lógicamente suponerse el infinito como una idea. ¿Qué opinan de esto?.

    Además he leído y escuchado a muchos filósofos cristianos y/o deístas en general, argumentar que como el infinito conduce a contradicciones matemáticas y lógicas, el universo no puede ser infinito en ninguna forma y que por tanto tuvo que tener un inicio, lo que significa que tuvo una causa; y esa causa, se deduce, es Dios. Se que se desvía ligeramente este punto de la argumentación matemática, pero a mi me parece un argumento sensato. ¿Cómo resuelve Objetivismo esto?

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